¿Cuántas partidas necesita ganar Magnus para llegar a los 2900?

INTRODUCCIÓN

Magnus alcanzó su máximo Elo de 2882 en 2 ocasiones, en mayo de 2014 y en agosto de 2019. Por su alto rendimiento se esperaba que supere fácilmente la barrera de los 2900. En este artículo se pretende analizar cuántas partidas consecutivas debería ganar para convertirse en el primer ajedrecista en superar esa barrera. 

SISTEMA ELO

El sistema Elo es un método matemático para calcular las habilidades relativas de los competidores en juegos de dos participantes, como el ajedrez. Desarrollado por Arpad Elo, este sistema considera la diferencia en los ratings de los jugadores para calcular las probabilidades de victoria, derrota y empate en cada partida.

Para calcular los nuevos ratings de dos jugadores A y B después de su partida, se usa las fórmulas de puntuación esperada y cambio de rating:

La puntuación esperada es una estimación de las probabilidades de que un jugador gane una partida contra otro jugador. Se calcula utilizando la diferencia en los ratings de los jugadores.

Esta fórmula refleja la probabilidad de que el jugador A gane contra el jugador B. Si ambos jugadores tienen el mismo rating, cada uno tiene una probabilidad de 0.5 (o 50%) de ganar. Si la diferencia de rating es grande, la puntuación esperada para el jugador con el rating más alto será mayor, indicando que es más probable que gane.

La fórmula de cambio de Elo es fundamental para entender cómo se ajustan los ratings de los jugadores después de cada partida de ajedrez. Este sistema considera la diferencia entre el rating actual de un jugador y el rating de su oponente, así como el resultado de la partida

El factor K es un coeficiente utilizado para determinar cuánto cambia el rating de un jugador después de cada partida. Este factor puede variar dependiendo de varios factores, como el nivel de habilidad del jugador y el tipo de torneo.

• K = 40 para un jugador nuevo en la lista de clasificación hasta que haya completado eventos con al menos 30 juegos
• K = 20 siempre y cuando la calificación de un jugador permanezca por debajo de 2400.
• K = 10 una vez que la calificación publicada de un jugador ha alcanzado 2400 y permanece en ese nivel posteriormente, incluso si la calificación cae por debajo de 2400.
• K = 40 para todos los jugadores hasta que cumplan 18 años, siempre y cuando su Elo permanezca por debajo de 2300.
• K = 20 para las clasificaciones RÁPIDAS y BLITZ para todos los jugadores.

Para comprender mejor, supondremos que se enfrentas dos jugadores con las siguientes características:

• Rating de A: 2827
• Rating de B: 2803
• Factor K: 10 (al ser dos competidores con Elo mayor a 2700)

Primero se debe calcular la puntuación esperada de A y B:

Posteriormente, se debe calcular los cambios de rating. Supondremos que A obtuvo una victoria y al ser dos competidores con Elo mayor a 2800 el valor de K = 10. Por lo tanto, se tiene lo siguiente:
 

Finalmente, se debe actualizar el rating de los dos competidores:

CÁLCULO DEL NÚMERO DE PARTIDAS 

Para este cálculo se harán las siguientes aproximaciones:

• Elo de Magnus = 2835.
• K = 10.
• Elo promedio de los competidores = 2750.
• Se linealizará todas las aproximaciones.

Por lo tanto, el rating luego de enfrentar a su oponente se calcula de la siguiente manera:

Este proceso se debe iterar hasta alcanzar el valor de 2900:

En el cuadro anterior se observa que Magnus debería ganar 20 partidas consecutivas a oponentes de 2750 de Elo para alcanzar los 2900, siempre y cuando su rating inicial sea de 2835.

GENERALIZACIÓN 

Ahora, se hallará una expresión que relacione el número de partidas en función del Elo inicial y el Elo de los oponentes.

Si se repite el proceso anterior, variando el valor del Elo de Magnus y manteniendo constante el Elo del rival en 2750, se tienen los siguientes resultados:

Con estos datos es posible encontrar una línea de tendencia y se puede encontrar la ecuación que relaciona el número de partidas y el Elo inicial. Para este caso se tienen los siguientes resultados:

El siguiente paso es obtener datos similares para diferentes valores del Elo del rival. En el siguiente gráfico, cada una de las rectas representa la relación del Elo inicial en función del número de partidas para diferentes valores del Elo del contrincante. 

Los datos finales son los siguientes:

• Elo = -4,9841*(partidas) + 2913,2; si Elo del contrincante = 2810
• Elo = -4,7254*(partidas) + 2915,3; si Elo del contrincante = 2790
• Elo = -4,41*(partidas)+2914,6; si Elo del contrincante = 2770
• Elo = -4,1302*(partidas) + 2915; si Elo del contrincante = 5750

Como paso final se debe encontrar la expresión que relaciona las tres variables. Se usó el método de los Mínimos Cuadrados para encontrar la tendencia de las anteriores condiciones. No se presentará el cálculo y la carpintería que se elaboró para llegar al resultado, esto debido a que es un poco engorroso, pero a continuación se muestra el resultado final:

COMPROBACIÓN

En base a la tabla anterior se realizarán los cálculos y se comparará los valores obtenidos y los reales:

CONCLUSIÓN

Se observa que la diferencia entre el valor real y el valor calculado es mínima, esto principalmente por la linealización de los valores

MUCHAS GRACIAS