모든 자연수의 합은 얼마일까? (+지수방정식)

모든 자연수의 합은 직관적으로 보면 당연히 무한일 것 같지만 리만 제타 함수의 해석적 연장을 통해 -1/12라는 개가 풀 뜯어먹다 어이없어 쳐다볼 수준의 답이 나옵니다.

상식적으로 생각해보면 말도 안 되는 내용이지만 의심은 잠시 접어두고 아래 내용을 봅시다.

S1=1-1+1-1+1-1+1...=1/2

(S1이라는 무한합은 짝수항까지 더했을 때는 0, 홀수항까지 더했을 때는 1의 값을 갖는 진동하는 수열입니다. 즉 발산하는 수열이기 때문에 수렴값이 존재하지 않지만, 만약 수렴값이 존재한다고 가정한다면 이러한 결과를 얻을 수 있습니다.)

S2=1-2+3-4+5-6+7...

S2=0+1-2+3-4+5-6...

2S2=1-1+1-1+1-1+1...=S1

∴S2=S1/2=1/4

S2=1-2+3-4+5-6+7...

S=1+2+3+4+5+6+7...

S-S2=0+4+0+8+0+12...

S-S2=4(1+2+3+4+5+6...)=4S

4S=S-S2

4S=S-1/4

3S=-1/4

∴S=-1/12

언뜻 보면 논리적인 모순이 하나 없어 납득이 될 것 같기도 하고 아닐 것 같기도 합니다.

여러분의 생각은 어떠신가요?

(지수방정식) 문제:

6^x+4^x=9^x

(3/2)^x=?

양변을 4^x로 나누면 (6^x)/(4^x)+1=(9^x)(4^x)

지수법칙에 의해 (6^x)/(4^x)=(6/4)^x=(3/2)^x

(9^x)/(4^x)=(9/4)^x=(3/2)^2x={(3/2)^x}²

(3/2)^x+1={(3/2)^x}²

(3/2)^x를 t로 치환하면

t+1=t²

t²-t-1=0

근의 공식을 사용하면 t=(1±√5)/2

(3/2)^x=t이기에 x의 값이 어떻든 t는 양수일 수밖에 없다.

그러므로 t=(1+√5)/2이다.

(3/2)^x=(1+√5)/2