Matemática, Música, Linguagem e Xadrez

Teorema. Nunca existirá um programa de computador que vence todas as partidas de xadrez.

Prova. Suponha que um tal programa venha a existir. Coloque-o para jogar contra si mesmo. Se a partida terminar em empate, o programa não ganha sempre, porque ele também empata; se a partida terminar em vitória de um lado e derrota do outro, o programa também não ganha sempre, porque ele também perde. ∎

O símbolo ∎, que os matemáticos usam sempre que terminam uma argumentação, foi inventada pelo matemático húngaro-americano Paul Halmos, e, segundo ele, esse símbolo representa uma lápide. A argumentação matemática “mata” e “enterra” qualquer dúvida, fazendo a verdade triunfar.

Na matemática, um teorema é uma afirmação que os matemáticos já provaram que é verdadeira. Provar é justificar, por meio de argumentos, que algo é verdadeiro.

A prova do teorema acima é um exemplo do que os matemáticos chamam de redução ao absurdo. Primeiro, supomos que algo é verdadeiro (existe o programa que ganha sempre); em seguida, mostramos que essa suposição tem consequências insustentáveis (poderíamos colocar o programa para jogar contra ele mesmo, e daí não teria como ele ganhar as duas partidas, porque ele empataria as duas ou perderia uma delas).

Resumindo, se (i) existe o programa que ganha sempre, então (ii) esse programa não ganha sempre. Se você acredita na frase (i), a frase (ii) vem junta. Então, para ser coerente, você é obrigado a acreditar nela também. Só que (i) e (ii) são frases contraditórias, e contradições são proibidas na matemática e na lógica. Então, a conclusão é que não devemos acreditar na frase (i), ou seja, não pode existir um programa que ganhe sempre.

Mas quem decidiu que contradições são proibidas? Essa é uma regra básica da lógica, respeitada desde os gregos antigos, entre eles o filósofo Aristóteles, considerado o pai da lógica tradicional. Em seu livro Metafísica, ele diz que “é impossível ao mesmo tempo ser e não ser”. Observe a seguinte imagem:

Seria um Coelhato? Ou um Patoelho? Você vê ora um coelho com suas duas orelhas, ora um pato, com seu bico onde antes eram as orelhas do coelho. (Ficou curioso sobre de onde é essa imagem? Continue lendo…) Depois de se acostumar, o cérebro pode alternar muito rápido entre uma visão e outra, tão rápido que dê a impressão de que estamos vendo as duas coisas ao mesmo tempo — mas não estamos. Essa é uma metáfora do princípio de não contradição: coelhos não são patos, portanto algo não pode ser um coelho e um pato ao mesmo tempo. Assim como uma declaração não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Existe outro motivo para contradições não serem toleradas na matemática. Esse motivo é resumido pela frase em latim, que parece uma sentença solene:

Ex contradictione quodlibet.

O significado dessa frase é que a contradição destroi o conceito de verdade. Vamos supor que, neste momento, você olha para sua janela e vê uma garoa caindo. Está chovendo? Talvez você pense: sim e não. Sim, porque está caindo água do céu, e não, porque não chega a ser uma chuva, é só uma garoa. Faz sentido, concorda? Se sim, você acabou de me emprestar 1 milhão de reais. Como assim?

Eu te pergunto: “Está chovendo ou você vai me emprestar 1 milhão de reais?”. Você não pode responder “Nenhum dos dois”, porque pelo menos uma dessas coisas é verdade, já que você admitiu que está chovendo. Você também não pode responder “Está chovendo”, já que você admitiu que não está chovendo. Logo… só lhe resta uma resposta: “Vou lhe emprestar 1 milhão de reais”.

E não para aí: Se você admite qualquer contradição, como a de que está chovendo e não está chovendo, então você teria de aceitar também que 1 + 1 = 5, que o Brasil fica na Ásia e que Napoleão Bonaparte foi jogador de futebol. Basta eu te perguntar “Está chovendo ou X?”, e você será obrigado a responder “X”. Ou seja, aceitar uma contradição faz com que tudo seja verdade. Claro, isso se a linguagem do dia a dia fosse tão rigorosa quanto a linguagem matemática. Na linguagem do dia a dia, existem meias verdades, mas na matemática, não. É por isso que o matemático inglês Hardy fez a famosa comparação com o xadrez:

“Redução ao absurdo é uma das armas mais admiráveis de um matemático. Um jogador de xadrez pode oferecer o sacrifício de um peão ou mesmo de qualquer outra peça, mas o matemático oferece todo o jogo.”

Ao supor provisoriamente que algo falso é verdadeiro, como fizemos para provar o teorema do início deste artigo, o matemático está oferecendo toda a matemática em sacrifício. Na verdade, o mais parecido no xadrez seria o pseudo-sacrifício, que é quando um jogador entrega uma peça para logo em seguida ganhar outra do adversário. O matemático supõe uma contradição só para mostrar que ela de fato é uma contradição, e poder, higienicamente, descartá-la.

Como dito anteriormente, a linguagem matemática não é a linguagem do dia a dia. Ela é uma linguagem utilizada por um público específico (estudantes e professores) em situações específicas (ao estudar ou ao ensinar). De qualquer maneira, uma semelhança é que a contradição também pode ser devastadora para a linguagem do dia a dia. 

George Orwell, na distopia 1984, descreve um futuro onde o governo controla a vida dos cidadãos, vigiando-os até dentro de casa. O governo controla o íntimo das pessoas, até mesmo seus pensamentos. Como ele faz isso? Impondo uma ideologia chamada duplopensar. O duplopensar é uma forma de pensar na qual cada ideia nega a anterior. Por exemplo: “Meu trabalho está me desgastando muito, é muito serviço para pouco pagamento. Mas eu estou muito cansado para pensar nisso. Meu cansaço deve estar me enganando. Na verdade, meu trabalho é ótimo, eu é que estou sem condições de reconhecer isso”. No livro de Orwell, essa contradição constante é ensinada às pessoas e usada pelo governo para manter os cidadãos obedientes e sem reclamar de nada.

Curiosamente, o xadrez não foi proibido pelo governo, na obra de Orwell. Pelo contrário, o xadrez aparece várias vezes no livro, sendo jogado em bares do mundo pessimista imaginado pelo autor. Será que o governo opressor do livro subestimou o jogo, ao deixá-lo livre?

O fato é que o xadrez é uma linguagem, assim como a matemática e a música. E, como tal, ele amplia a nossa mente. Veja esta comparação entre matemática e música feita pelo matemático e divulgador britânico Keith Devlin, autor de O Gene da Matemática (Trad. Sérgio Moraes Rego, Ed. Record, 2004):

[...] a notação matemática não é matemática mais do que a notação musical é música. Uma página de partitura musical representa uma peça de música, mas a notação e a música não são a mesma coisa; a música propriamente dita acontece quando as notas da página são cantadas ou tocadas por um instrumento musical. [...] Quando lidos por um executante competente (isto é, alguém versado em matemática), os símbolos da página impressa vêm à vida — a matemática vive e respira como uma sinfonia abstrata na mente do leitor. (p. 27)

A citação acima se assemelha com a seguinte comparação entre o xadrez e a música do escritor austro-brasileiro Stefan Zweig, no conto O Jogador de Xadrez, sobre um personagem fictício que foi prisioneiro na Áustria ocupada durante a Segunda Guerra Mundial, e cuja única diversão era um livro de xadrez que lia escondido, imaginando as partidas em sua mente (pois não tinha tabuleiro nem peças):

[...] eu havia projetado o tabuleiro com suas peças em minha cabeça e, graças às meras fórmulas, tinha uma visão geral das respectivas posições, assim como a simples visão da partitura é suficiente para um músico praticante ouvir todas as notas e sua harmonia.

Uma partitura musical só faz sentido para quem sabe lê-la, assim como um texto matemático ou uma partida de xadrez, e nesse último caso, dependendo da habilidade do jogador, não é necessário nem um tabuleiro.

O desenho do Coelhato, ou Patoelho, que eu mostrei acima não é de Aristóteles: é do filósofo austríaco Ludwig Wittgenstein, um dos intelectuais mais importantes do século XX. Esse gênio mudou para sempre a história da filosofia — DUAS VEZES! Em seu livro Tractatus Logico-Philosophicus, o jovem Wittgenstein diz que a linguagem serve para descrever os fatos do mundo, e sugere que a filosofia deveria perguntar menos “O que é tal coisa?” e mais “O que podemos falar sobre tal coisa?”.

Embora não pareça à primeira vista, a mudança proposta por ele é tremenda: para o jovem Wittgenstein, a filosofia não devia fazer algo que ela sempre fizera, ou seja, questionar conceitos misteriosos, como “o que é a consciência?”.

É por isso que o Tractatus termina com o seguinte diagnóstico:

Sobre o que não se pode falar, deve-se calar.

(Wittgenstein respeitava a religião e a moral, mas achava que não cabia à filosofia falar sobre tais questões.) Mais tarde, em seu livro Investigações Filosóficas, Wittgenstein rejeita várias ideias que ele próprio escrevera no Tractatus, passando a considerar que a linguagem possui diversos usos além de descrever fatos — como pedir, dar ordens, contar uma piada, cantar —, e que os significados das palavras dependem dos usos que fazemos delas. A esses diferentes usos, dentro de um determinado contexto, Wittgenstein chama “jogos de linguagens”.

“Denominar e descrever não estão no mesmo nível: denominar é uma preparação para a descrição. O denominar não é ainda um lance no jogo de linguagem — como colocar uma peça no lugar no tabuleiro não é um movimento no xadrez”.

Ludwig Wittgenstein.

Em vez de uma explicação teórica complexa sobre o que é o tempo, a explicação “tempo, no dia a dia, é o sistema de referências e medidas, como horas, minutos e segundos, que usamos para organizar nossa rotina” talvez não fosse considerada tão ruim por Wittgenstein. Devido a sua formação como engenheiro, ele estava interessado nos usos práticos da linguagem. Para ele, toda a filosofia devia se limitar a isso. Questões metafísicas deviam ser trazidas de volta para seus usos práticos antes de se falar sobre elas.

Essa mudança no pensamento de Wittgenstein aconteceu conforme ele percebia cada vez mais que o significado das palavras depende do contexto. Assim como para entender um meme de xadrez é necessário conhecer o contexto. Para que todos entendam uma mensagem, o contexto tem de ser público, e não particular ou compartilhado por apenas um nicho de pessoas.

Para Wittgenstein, que recusou uma herança milionária e foi professor do Ensino Fundamental na Áustria, a educação deve tornar público o maior volume possível de contextos para o maior número possível de pessoas, capacitando-as a “ler o mundo”.